標題

[幾何] 四維空間的突發奇想

時間 (2025-03-26 10:37:46)

推文58則 (3推 0噓 55→)
https://i.imgur.com/uPciTEc.png

右上的1區

假設有一個三維球體殼 x^2+y^2+z^2=64

球心一直在z軸上沿著z軸移動

所以例如在z=6的平面上

假設此平面世界有個數學家

他描述這個物體就只能用 x,y 這兩個變數

因為他還沒有z軸的概念

所以就是 0<(x^2+y^2)<64 一組隨著時間變大在變小的圓

而且這個圓是憑空出現而且消失

在三維空間來看球體根本沒有消失

只是球體經過z=6平面

左邊的2區

假如有個四維球體殼半徑也是8

因為四維具有四個自由度

多了m軸 m軸要跟x,y,z軸都垂直

所以無論如何都畫不出來

但還是能用四軸座標系統來表示此四維球的殼

x^2+y^2+z^2+m^2=64

然後雖然四軸座標系統畫不出來

但是在 m=0 的三維空間可以單獨畫出來

類似上面那個z=6平面單獨從三維空間抽一個平面出來

這個四維球殼的球心沿著m軸移動

在球心移動到 -8>m>8 的區間

在m=0的三維空間的數學家會看到

一個球體殼憑空在原點出現

此球體殼半徑從0開始變大到最大值8

這時是四維球心也剛好停在m=0時

然後開始縮小直到消失

整個過程對應到四維球體殼的球心

從m=(-8)到m=8的移動過程

右下的3區

是在模擬從1維的視角

如何去看待3維的球體

因為跨了兩個維度

所以訊息丟失實在太大

三維球體的所有資訊在經過z=6平面時

二維平面可以完全記錄下來

但是一維的不行

所以四維球體的所有資訊

可以在經過某一個三維空間中

被完整的紀錄下來

大概是這樣吧

總之就是很閒就對了XD

--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(pttweb.tw), 來自: 42.77.228.175 (臺灣)
※ 文章網址: https://pttweb.tw/Math/M.1742956668.A.4A4

#1→ : 你用一系列的2維截面去描述3維的物體, 實際上不就03/26 15:19

#2 是用了3個參數嗎03/26 15:20

#3 第三個參數就是描述截面的變化的參數, 可以是時間或03/26 15:23

#4 截面的編號等等03/26 15:24

#5→ : 那個z=6的平面就只能用x,y 這兩個參數去描述平面上03/26 19:49

#6 的圓所以還是兩個其實是用來類推三維中出現的球體03/26 19:50

#7 用到第三個參數去描述圓的變化是一種紀錄圓的資訊03/26 19:54

#8 的方式但是這個參數跟x,y軸這種在平面上或是空間03/26 19:54

#9 中表示位置的參數有本質上的區別03/26 19:54

#10→ : 同樣用了三個參數的意思舉例來說就是極座標跟直角03/26 20:02

#11 座標都一樣能表示平面上的東西，但一樣都是用了兩個03/26 20:03

#12 參數通常幾維的東西就需要幾個維度（參數）表示03/26 20:04

#13 又例如把平面上的線段用參數t寫成參數式x(t)，你其03/26 20:08

#14 實就是用t跟x(.)這兩個東西去描述你這篇所講的就03/26 20:09

#15 類似這樣03/26 20:09

#16 講線段有可能誤解，就說曲線吧03/26 20:11

#17推 : 其實如果拿一條直線水平掃過xy平面的一個範圍（比03/26 21:32

#18 如x=-R到R)，然後每次向上移動一點點再掃一次，這03/26 21:32

#19 樣s型掃過整顆球，只要每次向上的step夠小，也可以03/26 21:32

#20 無限接近的用這條線上的長度的變化去記錄球的形狀03/26 21:32

#21 ，這樣說起來是不是用一維也可以描述三維的資訊03/26 21:32

#22 我還可以再修改一下,用平行z軸的直線, 直線跟xy平面03/26 22:00

#23 的交點沿著x=sin(t), y=sin(根號2 t) 移動, 這樣03/26 22:00

#24 直線就會經過 x=-1~1, y=-1~1 矩形內的每一點03/26 22:02

#25 那就可以用這條直線上的變化去描述整個柱體內的3D03/26 22:03

#26 資訊03/26 22:03

#27 而且既然R^n跟R^1可以1-1對應，那任何n維空間的函03/27 08:16

#28 數，應該都可以把n維空間的定義域對應到數線上的點03/27 08:16

#29 ，變成一維函數03/27 08:16

#30→ : 二維平面是利用類似積分的方式紀錄下三維物體體03/27 17:02

#31 經過平面時所截的圓因為平面是兩個自由度無限延03/27 17:02

#32 伸所以三維的物體只要經過這個負責紀錄的二維平03/27 17:02

#33 面內部每一個點都會被紀錄下來很像在做斷層掃描03/27 17:02

#34 。一維的線雖然也無限延伸但是只能紀錄下切過這03/27 17:02

#35 個球體的圓類似拿鋼線剖開一個西瓜鋼線紀錄到的03/27 17:02

#36 是剖面上每一個點所以三維物體對於一維來說只經03/27 17:02

#37 過一次的話訊息無法被完整紀錄下來但是經過二維03/27 17:02

#38 平面只需要一次就夠了03/27 17:02

#39 然後用這個概念推廣到四維物體四維物體經過某一03/27 17:02

#40 個三維空間時四維物體所有的資訊在三維空間中被03/27 17:02

#41 完整的紀錄下來相當於用三維空間對四維物體做斷03/27 17:02

#42 層掃描但是二維平面對於四維來說少了兩個維度所03/27 17:02

#43 以只能紀錄類似西瓜剖面的部分訊息這應該也是在人03/27 17:02

#44 類很難想象四維物體的原因因為人類的視覺本質是03/27 17:02

#45 二維的視網膜是一個曲面曲面展開就是二維的用紙03/27 17:02

#46 顯示器等也都是一個平面03/27 17:02

#47 如果四維生物存在的話同時他們也會做斷層掃描的話03/27 17:13

#48 每一張照片就是三維的影像吧03/27 17:13

#49 我還想到一個很有趣的概念就是二維世界如果發展電03/27 17:20

#50 磁學在一個平面上有一個平行x軸往x軸正向移動03/27 17:20

#51 的正電荷經過一個平行y軸正方向的磁場這個正電荷03/27 17:20

#52 受到有z軸方向的洛倫茲力離開這個平面但因為此平03/27 17:20

#53 面物理學家沒有z軸的概念所以他們的電磁學定律就03/27 17:20

#54 是 “正電荷經過有垂直其移動方向的磁場時此正電03/27 17:20

#55 荷會消失” XD03/27 17:20

https://i.imgur.com/LMtjzzV.png

這張圖展示了

左邊是 2維的人想幫助1維的人理解圓的概念

但是1維的人只有一個自由度前or後所以難想像

於是2維的人就把一段線 "彎曲" 成一個圓

這個1維的人就能在這個圓周上 "體驗" 一下2維的世界

就是他一直往同一個方向移動會一直回到原來的點

這在他原本的一維世界是不會發生的現象

在這個圓上他可以朝同一個方向移動無限遠相當於繞無限多圈

中間是3維的人想幫助2維的人理解圓球的概念

但是2維的人只有2個自由度前後or左右所以難想像

於是3維的人就把一塊平面 "彎曲" 成一個圓球

這個2維的人就能在這個圓球表面(曲面)上 "體驗" 一下3維的世界

就是他一直往不管朝任何方向一直前進都會回到原來的點

這在他原本的二維世界是不會發生的現象

在這個圓球表面(曲面)上他可以朝同一個方向移動無限遠

但就是無法離開這個3維空間中的曲面

右邊就是4維的？想幫助3維的人理解超球體的概念

但是3維的人只有3個自由度前後or左右or上下所以難想像

於是4維的？就把一部分的空間 "彎曲" 成一個4維空間中的超球體

這個3維的人就能在這個超球體的超表面上 "體驗" 一下4維的世界

(這裡還是維持3維的人的視角因為4維空間我不知道怎麼表示了)

就是他一直往同一個方向飛都會飛回到原本的位置

這在他原本的三維世界是不會發生的現象

因為他是在超球體的超表面上超表面是三維空間是具有體積的

三維的人就可以在這個奇特的"彎曲"空間中一直任意飛

如果4維的？沒有幫忙他移回原本的正常空間　

三維的人永遠飛不出這個超表面　

不過如果這個超表面足夠大例如

1維的人在一個足夠大的圓周上移動他還沒走到原本的點就往回走

2維的人在一個足夠大的球面上移動他還沒走到原本的位置就更改方向

3維的人在一個足夠大的超表面上移動他還沒飛到原本的區域就更改方向

這些維度的人都不會發現自己的世界從高維來看是被"彎曲"過的
※ 編輯: sarsenwen (1.200.83.36 臺灣), 03/29/2025 09:10:34

#56→ : 除了一維的都會發現，因為高斯曲率不一樣03/31 16:09

#57推 : 這個其實是分辨的出來的，簡單講一個辦法，向量沿03/31 16:31

#58 著封閉曲線平移03/31 16:31