時間 (2024-08-19 19:56:33)

推文137則 (23推 0噓 114→)
已知 A 是一個 2x2 實矩陣，且 det(A) = 1。
對於任意實數 x 和 y，有以下變換關係：

[x'] = A [x]
[y'] [y]

並且滿足：

x^2 - y^2 = 0 <=> x'^2 - y'^2 = 0

我想證明：

1. 對於任意實數 x 和 y， x'^2 - y'^2 = x^2 - y^2。

2. 矩陣 A 的形式為：

A = ± 1/√(1-v^2) * [1 v]
[v 1]

其中 -1 < v < 1。

請教除了設

A = [a b]
[c d]

下去硬爆之外有沒有什麼好方法

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#1推 : 可以考慮A[1,1]和A[-1,1]是什麼基本上有兩種情形08/20 01:01

#2 ［c,c] [d,-d] 和反過來這樣就可以解出A了然後2只08/20 01:01

#3 是第一種情況還有二種某個v要加負號08/20 01:01

#4 你要證的東西都只對第一種情況對第二種都不對反例08/20 01:11

#5 見A=［［0,-1], [1,0]]08/20 01:11

#6→ : 感謝08/20 01:17

#7 所以加上第二種情況 x'^2-y'^2 = +/- (x^2-y^2)08/20 01:20

#8→ : 請問m大det(A)=1的意義是什麼?08/20 10:10

#9 請問H大怎麼知道要對[1,1]和[-1,1]乘以A呢?08/20 10:38

#10 A應該是未知的，A[1 1]怎麼知道是什麼?08/20 10:40

#11→ : 回樓上，因為 x'^2-y'^2=0, 所以08/20 11:13

#12 x'=+/- y', 如果A[1,1]取x'=y', A[1,-1]就只能取x'08/20 11:13

#13 =-y'，或是反過來08/20 11:13

#14 設det(A)=1是因為我希望有det(A) = det(A^-1), 所08/20 11:18

#15 以det(A)^2=1, 又我不要鏡像，所以希望det(A)>008/20 11:18

#16→ : 再請問m大det(A) = det(A^-1)有什麼特別物理意義嗎08/20 11:20

#17 看懂了,謝謝m大08/20 11:21

#18推 : 可能要加上保持時間方向的條件才能推出那些性質08/20 14:49

#19→ : 請問樓上保持時間方向的條件是什麼？(ct)^2-x^2>0?08/20 19:16

#20推 : 使得t>0的Lorentz boost08/20 21:19

#21 if t>0,則經過boost後,t'也要>008/20 22:57

#22→ : 謝謝，時間要是正向的08/21 10:47

#23 抱歉m大，我沒有看懂為什麼需要det(A)=det(A^-1)?08/21 11:47

#24→ : 我一開始先推出 x^2-y^2 = det(A) (x^2-y^2)08/21 15:05

#25 才回頭去設det(A)=108/21 15:06

#26 考慮上面的第二種情況應該是08/21 15:06

#27 x^2-y^2 = +/- det(A) (x^2-y^2) 才對08/21 15:06

#28 至於det(A)=1的意義, 我只能想到v=-v的時候平行四邊08/21 15:08

#29 型面積如果會從變大改成變小好像不太合理08/21 15:09

#30 更正 v 變成 -v的時候08/21 15:10

#31→ : m大的 x^2-y^2 = +/- det(A) (x^2-y^2)最初怎麼得到08/21 19:42

#32 的呢?08/21 19:42

#33→ : 跟一樓作法差不多, 因為x=y跟x=-y上的點變換後還是08/21 21:42

#34 要在這兩條線上, 所以以這兩個方向為基底伸縮08/21 21:43

#35 (沒考慮到這兩個方向轉90度互換的case)08/21 21:43

#36 如果把任意x,y分解成(1,1)跟(1,-1)的線性組合08/21 21:48

#37 變換後(1,1)變成(a,a), (1,-1)變成(b,-b)08/21 21:49

#38 代進去化簡一下就會得到 x'^2-y'^2 = ab(x^2-y^2)08/21 21:50

#39 如果(1,1)變成(a,-a), (1,-1)變成(b,b)08/21 21:50

#40 應該也類似, 正負要小心處理一下08/21 21:54

#41→ : ab會剛好就是det(A)嗎?還有(+-a,+-a),(+-b,+-b)有1608/21 22:22

#42 種組合08/21 22:22

#43 (1,1)變成(a,-a), (1,-1)變成(b,b)有假設a,b都>0嗎?08/21 22:23

#44→ : 找了一下資料似乎如果A可以從I經由連續無限小的08/21 22:25

#45 的變換達成, 那A就會符合我想要的條件08/21 22:26

#46 |ab|=|det(A)| , 正負我不是很有把握08/21 22:30

#47 我以為(1,1) (1,-1)就是A的eigenvector08/21 22:32

#48 如果是的話det(A) = eigenvalue的乘積08/21 22:33

#49→ : 謝謝m大，原來如此08/21 22:40

#50推 : 見Friedberg,Insel,Spence:線代 4e 6.9節 p45708/23 20:55

#51 L_A是Minkowski metric ,08/23 20:56

#52 eq(18) 把(1,v)→(t',0),再把(1,0)→(t'',-vt'')08/23 20:56

#53 數學的書用偏有物理意義的方法解08/23 20:57

#54 應該不用假設null-like t^2-x^2=0,08/23 21:00

#55 t^2-x^2 >0 time-like 也可以08/23 21:01

#56 只需t^2-x^2是 Lorentz invariant08/23 21:02

#57→ : 我其實想知道的是能不能不需要假設t^2-x^2是08/23 21:12

#58 invariant, 而是從t^2-x^2=0這個等式不變08/23 21:13

#59 導出t^2-x^2是invariant這件事08/23 21:13

#60 謝謝t大我再去找書來看08/23 21:14

#61 因為有些書都直接寫光速恆定所以(ct)^2-x^2是不變量08/23 21:16

#62 但是光速恆定應該只有保證 (ct)^2-x^2=0 時不變08/23 21:17

#63→ : 愛因斯坦推導時應該也只有用上光速恆定的假設08/24 08:07

#64推 : 其實大部分的物理書，寫Lorentz transformation都08/24 14:53

#65 寫得不清不楚08/24 14:53

#66推 : 另S.Weinberg:quantum theory of fields 1,2.3節08/24 17:05

#67 他有算|detA|^2=1,|A_tt| >或= 108/24 17:09

#68 (A_tt即是Lorentz factor γ)08/24 17:10

#69 p69有推出Lorentz boost,but他推導很複雜,難懂08/24 17:11

#70 Bondi:relativity & common sense有他自己獨特算法08/24 17:11

#71 D'Inverno:introducting Einstein's relativity把08/24 17:12

#72 k-ccalculus.08/24 17:12

#73推 : 你要數學一點就參考這個吧，Leblond, Possible Kin08/24 17:18

#74 ematics, 1968.四維時空然後滿足一些物理需求的，08/24 17:18

#75 最終還有11種變換，然後還要再進一步要求才是Poinc08/24 17:18

#76 aré group08/24 17:18

#77推 : 那本線代是require 內積space,跟你條件好像不太一樣08/24 17:20

#78 17:12 把它稱為k-calculus08/24 17:22

#79 21:16應該是(dt)^2-(dx)^2 is Lorentz inv.08/24 17:29

#80 for light, 上式=0,(dx/dt)^2=1=c08/24 17:30

#81 =1=c平方啦08/24 17:31

#82 (dt)^2-(dx)^2 is Lorentz inv.應該是狹義相對性原08/26 00:27

#83 理來的08/26 00:30

#84 時空距離等純量在勞侖茲變換下保持不變08/26 00:56

#85 https://zh.wikipedia.org/wiki/勞侖茲協變性08/26 00:56

#86 Riemannian geometry (ds)^2是diffeomorphism inv.08/26 07:13

#87 locally like n. 相對論(ds)^2 u,3是diffeomorphism08/26 07:14

#88 在相對論,(ds)^2 是diffeomorphism inv. of the08/26 07:17

#89 局部長得像R^1,308/26 07:18

#90→ : 我的問題應該比較接近是R^1,3是否真的是符合光速恆08/26 09:12

#91 定條件，和相對性原理的唯一可能。或是其實時空是R08/26 09:12

#92 ^1,3應該是狹義相對論的一個公設。08/26 09:12

#93推 : ds^2是diffeo.inv. of pseudo-Riemannian geo.08/26 12:10

#94 term .ptt.cc真難用, 記憶體不夠懶得用pcman08/26 12:11

#95 應該是內定了,狹義相對論指定了Minkowski spacetime08/26 12:14

#96 可能也可考慮dS,AdS 等空間的不變量,那可能如B大所08/26 12:16

#97 言的不同群。c=1,就ds^2=0,light-like 這是定義吧08/26 12:18

#98 c不變量啦我聽說光速不變是物理定律在慣性座標系08/26 12:19

#99 有相同型式,即要用張量表式,的特例,Einstein特別把08/26 12:21

#100 光速不變抓出來因為很重要的關係.08/26 12:21

#101 黎曼幾何ds^2已經假定是座標變換不變量不是嗎08/26 12:26

#102 我好像說錯.應該是附加結構y08/26 14:32

#103 left-invariant metrics on Lie groups08/26 14:32

#104→ : 光速恆定是實驗結果，慣性座標未必要是黎曼空間，08/27 00:04

#105 如果必須以黎曼幾何為前提，那就是額外的公設了08/27 00:04

#106 牛頓力學在伽利略變換下也滿足“慣性座標，物理定08/27 00:07

#107 律不變”08/27 00:07

#108 所以相對性原理本身並沒有限定是在哪一種變換下物08/27 00:08

#109 理定律有不變性。08/27 00:08

#110 數學上直接從Minkoski spacetime出發，不會有任何08/27 00:15

#111 問題。但是應該有一個合理的論證“為什麼要是Minko08/27 00:15

#112 wski spacetime"，而這樣的論證是否是數學上的有效08/27 00:15

#113 論證，還是物理學家偷渡了一些隱藏的假設，有沒有08/27 00:15

#114 一套物理公設可以導出狹義相對論空間必須是Minkows08/27 00:15

#115 ki soacetime?08/27 00:15

#116 不過好像離原本問題很遠了，這應該超出我的程度，08/27 00:17

#117 感謝大大的分享。08/27 00:17

#118推 : 光速在慣性座標變換下當然是是實驗結果,Michaelson-08/27 16:25

#119 Morley干涉儀實驗.但Einstein把它提升到公設,而其他08/27 16:28

#120 物理學家如Poincare,Lorentz卻沒有這樣做,導致狹義08/27 16:30

#121 相對論的發明者歸於Einstein.黎曼幾何當然是彎曲空08/27 16:31

#122 間.Minkowski spacetime才是平坦的.幾何學要先給定08/27 16:33

#123 曲面方程式或度規吧.相對論性原理有2種,狹義的是要08/27 16:37

#124 求慣性座標變換,廣義的是任意座標變換diffeomorphis08/27 16:38

#125 m.你當然可以做其他空間的相對論,如AdS、dS、confor08/27 16:41

#126 mal、sphere、torus、hyperelliptic curve、Calabi-08/27 16:46

#127 Yau、Jackiw-Teitelboim、Chern-Simons gravity 等08/27 16:49

#128 signiture是(-+++)又平坦的、open應該只有Minkowski08/27 16:53

#129 我前面說過光速不變公設是狹義相對論性原理的特例08/27 16:55

#130 即光速不變是一種物理定律.感覺怪怪的,又是公設又是08/27 16:57

#131 定律.08/27 16:57

#132 光速在任意慣性座標變換下不變,光速是constant08/27 16:59

#133 光速是constant 4-velocity08/27 17:00

#134 Poincare,Lorentz應該是要求光需要介質來傳遞以太08/27 17:07

#135 Einstein是丟掉以太,並提出2個公設而被公認為狹義相08/27 17:08

#136 對論的發明者。08/27 17:09

#137→ : 謝謝t大詳細的說明08/27 22:51

[線代] 類似勞侖茲變換的證明

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