標題

[中學] 三角函數

看板Math板作者hiu (閉門造愛)
時間. (2024-02-02 17:35:39)
推文22則 (9推 0噓 13→)
題目:
鈍角三角形ABC  其中角C為鈍角
BC邊長為1  AC邊長為 根號2
求sinA的範圍


我計算出來的答案是: 0 < sinA < 根號3分之1

我用兩種方法來算

第一種方法是畫圖來想
既然角C是鈍角 當角C極度接近90度的時候 此時角A最大
若姑且把角C當成直角 此時可很簡單的由畢氏定理算得sinA=根號3分之1
再加上角A一定大於0度 所以sinA>0
綜合上述 可知 0 < sinA < 根號3分之1


第二種方法
先令角C的對邊邊長為x (利用餘弦定理 可得x^2的範圍為: 3 < x^2 < 3 加 2根號2 )
接著再利用餘弦定理的計算 可把sinA寫成x的函數
即sinA= [ (-x^4 + 6x^2 - 1)/ 8x^2 ] ^0.5
把sinA對x作微分 可求得 0 < sinA < 根號3分之1


但上面這兩種方法
第一種方法感覺很直觀 卻不嚴謹
第二種計算太麻煩


想請問有沒有其他利用三角函數計算(例如疊合之類的)的算法
來求這一題呢?
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(pttweb.tw), 來自: 1.160.21.221 (臺灣)
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#1
: 第一種哪裡不嚴謹?嚴格遞增、極限證明上界02/02 17:48
請問要怎麼證明: 隨著角C的角度越小時 角A會越大?
※ 編輯: hiu (1.160.21.221 臺灣), 02/02/2024 19:30:48
#2
: 嚴格遞增、極限?確定這是第一種作法?02/02 19:53
#3
: 角C角度越大,角A角度越小,證明如下02/02 22:54
#4              考慮三角形ABC外接圓,角A、角B、角C分別為圓周角02/02 22:55
#5              根據定理,圓周角角度=所對弧角度/202/02 22:55
#6              並根據正弦sinA/sinB = BC/AC =定值02/02 23:08
#7              因此角A與角B的sin值只能同增或同減02/02 23:08
#8              角C增加=>角A與角B對應弧之和減少, vice versa02/02 23:09
#9              由上述可以推得sinA與sinB極大值出現在C 90度02/02 23:12
#10
: C增大,A+B減小,A<B,但是A:B並不是定值,能夠推出02/03 00:47
#11              A嚴格遞減嗎?有點怪怪的,中間是不是還有東西沒證?02/03 00:48
#12              還有圓周角性質有用到嗎?當C改變,外接圓也會變02/03 00:50
#13
: C改變外接圓改變,但是C的對應弧AB變大,弧BC+弧AC02/03 06:57
#14              就會變小,又由於sinA/sinB是定值,因此只能同增同02/03 06:58
#15              減,考慮弧AC+弧BC的和在角C(從90度)漸增的狀況下是02/03 06:59
#16              嚴格遞減,sin函數(sinA,sinB)在(0,90)是單調增函數02/03 07:02
#17
   :  https://i.imgur.com/W9spu2k.jpg  https://i.im02/03 08:22
#18              gur.com/PQw5zKu.jpg02/03 08:22
#19              最後面為*<*02/03 09:04
#20              1/2(1*sqr2)sinc <1/2(1*sqr2)02/03 09:06
#21               https://i.imgur.com/zXX8xYr.jpg02/03 09:10
#22
: 我好像懂了,謝謝02/03 19:17

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