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Re: [中學] 三角函數的極值問題

(2/2篇)
看板Math板作者Vulpix (Sebastian)
時間. (2023-10-18 01:41:48)
推文9則 (5推 0噓 4→)
※ 引述《choun (原來跑步這麼舒服)》之銘言:
: A點在(0,12), B點在(7,5),P點在(x,0),試問讓 PA/PB 為最小值的P點,那時的
: tan(∠APB)= ???
: https://imgur.com/a/l9CBsEA
: 我把這題整理了一下… 但是寫不出接下來的步驟…我用desmos抓P點應該是在(-18,0)
: 但是除了微分,我想不到高中三角函數應該怎麼做…  @@
: 還請大大們幫忙看看!謝謝~~~

k 很好用,下面是另一種直接算的方式。


 (x^2 + 144)/[(x-7)^2 + 25]

= 1 + 14(x+5)/[(x-7)^2 + 25]

= 1 + 14(x+5)/[(x+5)^2 - 24(x+5) + 169]

= 1 + 14/[(x+5) - 24 + 169/(x+5)]

剛剛的計算先假設 x 不是 -5 這個讓 PA/PB = 1 的數字,

所以我們先另外算一下:

       如果 x = -5,那可以由 tan 的差角公式得

       tan(∠APB) = 7(12-x)/(x^2-7x+60) = 119/120。

當 x 比 -5 大,1 + 14/[(x+5) - 24 + 169/(x+5)] ≦ 1 + 14/(26-24) = 8。

而 x 比 -5 小的時候,1 + 14/[(x+5) -24 +169/(x+5)] ≧ 1 +14/(-26-24) = 18/25。

另一方面,1 + 14/[(x+5) - 24 + 169/(x+5)] 在 (-5,8) 和 (8,∞) 上的單調性,

可以從 (x+5) + 169/(x+5) 的單調性看出來。

所以最小值 = 18/25,此時 x+5 = -13,即 x = -18。

代入 tan(∠APB) = 7(12-x)/(x^2-7x+60) = 7/17。


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總覺得 7 跟 17 在計算中出現的次數有點多,不知道有沒有辦法更早看到結果。
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#1
   :  (x+5) + 169/(x+5)把負號提出,算幾~10/18 06:44
#2
      : 哇!規劃全局更清楚了!!謝謝大大。10/18 08:35
#3
: 提出一個有趣的觀察:A,B,B'(7,-5),P(-18,0)共圓10/18 11:21
#4              圓心剛好是(-5,0)10/18 11:21
#5              還在想這中間有沒有甚麼可以用圓跟三角的特性的地方10/18 11:22
#6
      : death大~ 真的耶!如你所說,這樣用對稱點來展開10/18 18:11
#7              畫面可能有三角函數的可能…我昨天除了k法也想半天10/18 18:12
#8              換句話說P點要跟ABB'共圓,才會有PA/PB最小的情形…10/18 18:14
#9              why???咦???我再想想看10/18 18:14

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